阿克曼模型推导

一、序论

1.1 研究目的

运动学是从几何学的角度研究物体的运动规律，包括物体在空间的位置、速度等随时间而产生的变化，因此，车辆运动学模型应该能反映车辆位置、速度、加速度等与时间的关系。在车辆轨迹规划过程中应用运动学模型，可以使规划出的轨迹更切合实际，满足行驶过程中的运动学几何约束，且基于运动学模型设计出的控制器也能具有更可靠的控制性能。

1.2 自行车模型

车辆控制研究中，建立模型应尽可能使模型简单易用，且能真实反映车辆特性，搭建车辆模型多基于单车模型，使用单车模型需做如下假设：

• 不考虑车辆在Z轴方向的运动，只考虑XY水平面的运动，如图1所示；

• 左右侧车轮转角一致，这样可将左右侧轮胎合并为一个轮胎，以便于搭建单车模型，如图2所示；

• 车辆行驶速度变化缓慢，忽略前后轴载荷的转移；

• 车身及悬架系统是刚性的；
  

其中，O 为OA、OB的交点，是车辆的瞬时滚动中心，线段OA、OB分别垂直于两个滚动轮的方向；β为滑移角，指车辆速度方向和车身朝向两者间所成的角度，ψ为航向角，指车身与X轴的夹角。

一般情况下，我们不考虑车辆滑移，β默认为0

1.3 运动学与动力学模型

自行车运动学与动力学公式推导

二、阿克曼模型

2.1 阿克曼转向几何

（1）参数定义

阿克曼转向几何(Ackerman Turning Geometry)是一种为了解决交通工具转弯时，内外转向轮路径指向的圆心不同的几何学。

车轮偏角定义：

阿克曼转向几何：

阿克曼中转弯半径R是重要参数

（2）转弯半径R

低速环境下，车辆行驶路径的转弯半径变化缓慢，此时我们可以假设车辆的方向变化率等于车辆的角速度。则车辆的角速度为

其中，利用弧长与角度关系，可得到 1/R = δ/L：

则，可求得半径R：

R = L / δ，其中 δ为前轮转角，也是车辆绕圆心点转过的角度

2.2 利用半径R更新车辆位置

利用转弯半径R更新车辆位置点（X(t+1), Y(t+1)

且根据弧长与角度关系知，车辆在t时间内移动距离为 V*t 距离，则可推到出车辆转过的角度θ：

θ = V * t / R , R = L / δ

则 θ = V * t * δ / L

根据车辆转过的角度更新车辆位置点：（车辆坐标系下位置更新）

X(t + 1) = R * (1 - cos(θ))
Y(t + 1) = R * sin(θ)

2.3 转弯半径的另一种表达

由于两个前轮的转向角度不同，造成了，两个后轮旋转半径也不相同，于是，做出了相应的简化，以车辆后轴中心点为旋转参考点，对车辆左前轮角度和右前轮角度取均值：

前轮平均转角：

式中，δ为简化后车辆前轮转向角，δ 和δf，δr 分别为对应的车辆左侧前轮角度和右侧前轮转向角度。

根据图中几何关系，知，tan(δ) = L / R；

其中，δ为车辆前轮转角，L 为车辆前后轴之间的距离，R 为车辆在给定的前轮转角δ情况下，所遵循的圆轨迹的半径。

三、总结

3.1 状态方程

3.2 航向角更新

（1）航向角变化率与转角与滑移角关系

其中，滑移角β默认为0时，则cos(β) = 1，默认后轮不转动，则δr = 0, tan(δr) = 0，即航向角变化率，l = lf + lr

参考链接

1. https://blog.csdn.net/u013914471/article/details/82968608
2. https://blog.csdn.net/asafield/article
3. https://blog.csdn.net/qq_24649627/article