一、旅行商问题（Traveling Saleman Problem，TSP）

1.旅行商问题的定义

旅行商问题，是一个经典的组合优化问题，而且是著名NP问题之一。如下图所示
，可以想象，有A，B，C，D，E 五个地点，我们想找到一条路径，从地点A出发，经过剩余四个地点，然后回到地点A，从所有可能路径中找到距离最短的一条路径。本章借用了文献[*1]的图表。

2.旅行商问题求解的计算量

最简单的求解方式就是，如下图所示把所有的求解路径全部计算一遍，然后算出每条路径的长度，求出最短路径。

如下图所示，所有的枚举路径总共有24条，我们可以很快找到最短路径。

如果下面A～Z的情况，这个计算量，日本的第一超级计算机富岳，每秒的计算速度约为44.2京次（京是10的16次方，即万兆）。一年的秒数是3600×24×365=3153.6万秒。有兴趣的可以计算一下要算多少年。

二、TSP问题的建模

1.总体Hamilton量$H$

该问题输入有两个，这里借用了文章[*2]的图表：

• 地点数目：$N$
• 地点之间的距离：
  l
  i
  ,
  j
  (
  i
  =
  1
  ,
  ・・・
  ,
  N
  )
  l_{i,j}(i = 1,・・・, N)
  li,j​(i=1,・・・,N)

约束条件：

• 每个时间步只能访问一个地点。
• 每个地点都访问过一次。

整体的Hamilton量$H$如下：

目标变量
x
i
,
j
x_{i,j}
xi,j​的两个下标的意思如下图👇所示，绿色的圆圈代表在某个时间步访问了某个第地点，所以我们的目标变量就可以用0或1表示了，0代表未访问，1代表访问。

2.约束条件

约束条件比较简单，先从约束条件解释，这里有2个约束可以解释如下：

1. 每个时间步只能访问一个地点。
   => 上图矩阵里的每列元素之和必须为1。也就是每列中只有一个元素为1。
2. 每个地点都访问过一次。
   => 上图矩阵里的每行元素之和必须为1。也就是每行中只有一个元素为1。

具体表达式如下：

3.目标函数

解析：

• 
  x
  i
  ,
  t
  x
  j
  ,
  t
  +
  1
  x_{i,t}x_{j,t+1}
  xi,t​xj,t+1​：
  这里的目标函数，最难理解的是
  x
  i
  ,
  t
  x
  j
  ,
  t
  +
  1
  x_{i,t}x_{j,t+1}
  xi,t​xj,t+1​。可以理解为【$t$时间步访问地点$i$，$t+1$时间步访问地点$j$时，
  x
  i
  ,
  t
  x
  j
  ,
  t
  +
  1
  x_{i,t}x_{j,t+1}
  xi,t​xj,t+1​=1；其他的情况，
  x
  i
  ,
  t
  x
  j
  ,
  t
  +
  1
  x_{i,t}x_{j,t+1}
  xi,t​xj,t+1​=0】。

• 
  ∑
  i
  =
  1
  N
  ∑
  j
  =
  1
  N
  ∑
  t
  =
  1
  N
  \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sum_{t=1}^N
  ∑i=1N​∑j=1N​∑t=1N​：
  该表达式代表了，【$t$时间步访问地点$i$，$t+1$时间步访问地点$j$时，地点$i$和$j$之间的距离
  ℓ
  i
  ,
  j
  \ell_{i, j}
  ℓi,j​之和】。所以，这个目标函数就代表了，从初始地点，经过所有地点后，回到初始地点的距离总和。

总结

旅行商问题，是比较有实际意义的应用问题，大家能体会到怎么把现实问题抽象出binary变量，然后怎么把制约条件表达出来。因为，上面的建模有两种编程实现方式，为了控制篇幅，下一篇献上Python代码。

在阅读参考文献时，经常会发现资料里的一些小错误，大家以后阅读资料时也要小心啊。

• 参考文献：
  [*1] : https://www.nttdata.com/jp/ja/-/media/nttdatajapan/files/news/services_info/2021/012800/012800-01.pdf
  [*2] : https://qiita.com/yufuji25/items/0425567b800443a679f7