电脑基础 · 2023年3月15日

如何用Python求解微分方程组

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    • odeint简介
    • 示例

odeint简介

scipy文档中将odeint函数和ode, comples_ode这两个类称为旧API,是scipy早期使用的微分方程求解器,但由于是Fortran实现的,尽管使用起来并不方便,但速度没得说,所以有的时候还挺推荐使用的。

其中,odeint的参数如下

scipy.integrate.odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5, printmessg=0, tfirst=False)

其中func为待求解函数;y0为初值;t为自变量列表,其他参数都有默认选项,可以不填,而且这些参数非常多,其中常用的有

  • args func中除了t之外的其他变量
  • Dfun func的梯度函数,当此参数不为None时,若将col_deriv设为True,则可提升效率。
  • full_output 如果为True,则额外返回一个参数字典
  • ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0, hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12, mxords=5,
  • printmessgTrue时打印信息。
  • tfirst 当为False时,func的格式为func(y,t...),否则格式为func(t, y...)

示例

对于常微分方程


θ


(
t
)
+
b
θ

(
t
)
+
c
sin

θ
(
t
)
=
b
=
0.25
;
c
=
5
θ
(
)
=
π

0.1
;
θ

(
)
=
\theta''(t)+b\theta'(t)+c\sin\theta(t)=0\\ b=0.25;\quad c=5\\ \theta(0)=\pi-0.1;\quad \theta'(0)=0
θ′′(t)+bθ(t)+csinθ(t)=0b=0.25;c=5θ(0)=π0.1;θ(0)=0

将其中的二阶导数项用一个新变量替代,
ω
(
t
)
=
θ

(
t
)
\omega(t)=\theta'(t)
ω(t)=θ(t)
,则常微分方程可拆分成微分方程组


θ

(
t
)
=
ω
(
t
)
ω

(
t
)
=

b
ω
(
t
)

c
sin

θ
(
t
)
\begin{aligned} \theta'(t)&=\omega(t)\\ \omega'(t)&=-b\omega(t)-c\sin\theta(t) \end{aligned}
θ(t)ω(t)=ω(t)=(t)csinθ(t)


y
=
[
θ
,
ω
]
y=[\theta, \omega]
y=[θ,ω]
,则
y

=
[
θ

,
ω

]
y'=[\theta', \omega']
y=[θ,ω]
,据此可设计函数func

import numpy as np
def pend(y, t, b, c):
    th, om = y
    dydt = [om, -b*om - c*np.sin(th)]
    return dydt

然后调用并求解

from scipy.integrate import odeint
y0 = [np.pi-0.1, 0]
t = np.linspace(0, 10, 101)
sol = odeint(pend, y0, t, args=(0.25, 5))

然后绘制一下结果

import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(t, sol[:,0], label="theta")
plt.plot(t, sol[:,1], label="omega")
plt.legend()
plt.show()

如何用Python求解微分方程组

这个形状还是比较离奇的。